Question

（理）实数x，y满足x²-y²=4，若

y+2

x

+m＞0恒成立，则实数m的取值范围为

m≥

2

．

Answer 1

分析：由题意可得m＞-

y+2

x

恒成立，则只要m＞-

y+2

x

的最大值即可，令k=

y+2

x

，则k的几何意义是在双曲线上任取一定与定点A（0，-2）的连线的斜率，联立方程

x2-y2=4 y+2=kx

可得（1-k²）x²+4kx-8=0，由△=16k²+32（1-k²）≥0可求K的最大值进而可求m的范围

解答：解：∵

y+2

x

+m＞0恒成立
∴m＞-

y+2

x

恒成立，则只要m＞-

y+2

x

的最大值即可
令k=

y+2

x

，则k的几何意义是在双曲线上任取一定与定点A（0，-2）的连线的斜率
联立方程

x2-y2=4 y+2=kx

可得（1-k²）x²+4kx-8=0
∴△=16k²+32（1-k²）≥0
∴-

2

≤k≤

2

∴-

2

≤-

y+2

x

≤

2

即-

y+2

x

的最大值为

2

故答案为：m≥

2

点评：本题主要考查了直线与曲线相交关系的应用，在解题时，关键是分析表达式的几何意义，把恒成立问题转化为求解式子的最大值的问题，还要注意本题的转化思想的应用．