Question

已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量满足：记y＝f(x)．

（1）求函数y＝f(x)的解析式：

（2）若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围：

（3）若关于x的方程f(x)＝2x＋b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据条件中以及A,B,C三点共线可得，从而求得y的解析式；（2）要使在上恒成立，只需，通过求导判断的单调性即可求得在上的最大值，从而得到a的取值范围；（3）题中方程等价于，因此要使方程有两个不同的实根，只需求得在(0,1]上的取值范围即可，通过求导判断单调性显然可以得到在(0,1]上的取值情况.

（1），

又∵A,B,C在同一直线上，∴，则，

∴ 4分

（2）∴① 5分

设依题意知在上恒成立，

∴h(x)在上是增函数，要使不等式①成立，当且仅当∴． 8分；

（3）方程即为变形为

令，

∴ 10分

列表写出 x，，在[0，1]上的变化情况：

 

x	0	(0，)		(，1)	1
		小于0	取极小值	大于0
	ln2	单调递减		单调递增

显然?g(x)在（0，1］上的极小值也即为它的最小值． 12分

现在比较ln2与的大小；

∴要使原方程在（0，1]上恰有两个不同的实根，必须使

即实数b的取值范围为 14分.

考点：1、平面向量共线；2、恒成立问题的处理方法；3、利用导数判断函数单调性求极值.