Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求点B到平面CDB₁的距离；
（Ⅲ）求二面角B-B₁C-D的大小．

Answer 1

分析：以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
（Ⅰ）求出

DE

，

AC1

，

DE

=

1

2

AC1

，推出DE∥AC₁．从而证明AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）点B到平面CDB₁的距离为h．通过VB1-BCD=VB-B1CD 转化S△BCD•B1B=S△B1CD•h，求点B到平面CDB₁的距离；
（Ⅲ）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥B₁C于点G，连接DG，说明∠DGF是二面角B-B₁C-D的平面角，求出与公式cos?

GF

，

GD

＞=

GF • GD

| GF || GD |

相关向量，计算，求二面角B-B₁C-D的大小．

解答：解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，
∴AC、BC、CC₁两两垂直
如图，以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），D（1，1，0）．
（Ⅰ）证明：
设BC₁与B₁C的交点为E，则E（0，1，1）．
∵

DE

=(-1，0，1)，

AC1

=(-2，0，2)，∴

DE

=

1

2

AC1

，∴DE∥AC₁…（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁（4分）
（Ⅱ）设点B到平面CDB₁的距离为h．
在三棱锥B₁-BCD中，
∵VB1-BCD=VB-B1CD，且B₁B⊥平面BCD，
∴S△BCD•B1B=S△B1CD•h（6分）
易求得S△BCD=1，S△B1CD=

1

2

CD•B1D=

3

，
∴h=

S△BCD•B1B

S△B1CD

=

2 3

3

．
即点B到平面CDB₁的距离是

2 3

3

．．（9分）
（Ⅲ）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥B₁C于点G，连接DG．
易证明DF⊥平面BCC₁B₁，从而GF是DG在平面BCC₁B₁内的射影，
根据三垂线定理得B₁C⊥GD．
∴∠DGF是二面角B-B₁C-D的平面角（12分）
易知F(0，1，0)，G(0，

1

2

，

1

2

)，
∵

GF

=(0，

1

2

，-

1

2

)，

GD

=(1，

1

2

，-

1

2

)，
∴cos?

GF

，

GD

＞=

GF • GD

| GF || GD |

=

3

3

．
∴二面角B-B₁C-D的大小是arccos

3

3

．（14分）

点评：本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．