题目内容
已知A，B，C是△ABC的三个内角，且向量a=cos
i+
sin
j的长度为|a|=
，其中i，j分别是x轴，y轴上的单位向量．
（1）求证：tanA•tanB是定值；
（2）求tan（A+B）的最小值．
| A-B |
| 2 |
| ||
| 2 |
| A+B |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
（1）求证：tanA•tanB是定值；
（2）求tan（A+B）的最小值．
（1）由题意i2=1，j2=1，i•j=0，
则|a|2=i2cos2
+
j2sin2
+
i•jcos
sin
=cos2
+
sin2
=
+
•
而|a|=
，则
+
•
=
即4cos（A-B）=5cos（A+B），
4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，cosAcosB=9sinAsinB，
=
，即tanAtanB=
．
（2）由tanAtanB=
＞0，且A，B，C是△ABC的三个内角，
知tanA＞0，tanB＞0，
则tan(A+B)=
=
=
(tanA+tanB)≥
×2
=
×2×
=
，
当且仅当tanA=tanB=
时，tan（A+B）的最小值为
．
则|a|2=i2cos2
| A-B |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| A+B |
| 2 |
| 2 |
| A-B |
| 2 |
| A+B |
| 2 |
=cos2
| A-B |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| A+B |
| 2 |
=
| 1+cos(A-B) |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 1-cos(A+B) |
| 2 |
而|a|=
3
| ||
| 4 |
| 1+cos(A-B) |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 1-cos(A+B) |
| 2 |
| 9 |
| 8 |
即4cos（A-B）=5cos（A+B），
4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，cosAcosB=9sinAsinB，
| sinAsinB |
| cosAcosB |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
（2）由tanAtanB=
| 1 |
| 9 |
知tanA＞0，tanB＞0，
则tan(A+B)=
| tanA+tanB |
| 1-tanAtanB |
| tanA+tanB | ||
1-
|
=
| 9 |
| 8 |
| 9 |
| 8 |
| tanAtanB |
| 9 |
| 8 |
|
| 3 |
| 4 |
当且仅当tanA=tanB=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
练习册系列答案
金钥匙试卷系列答案
相关题目
β，则a∥b； ④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；