Question

【题目】已知数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．
（1）求证：{ + }是等比数列，并求{an}的通项公式an；
（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1） an ， 数列{bn}的前n项和为Tn ， 若不等式（﹣1）nλ＜Tn+ 对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*），可得 =1+ ．

∴ ，

∴{ }是首项为 ，公比为3的等比数列，

∴ ，化为

（2）解：由（1）可知： = ，

Tn= +…+ ．

…+ + ，

两式相减得 ﹣ = = ．

∴ ．

∴（﹣1）nλ＜ + =4﹣ ．

若n为偶数，则 ，∴λ＜3．

若n为奇数，则 ，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．

综上可得﹣2＜λ＜3．

【解析】（1）由数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*），可得 =1+ ．变形为 ，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可知：bn ， 利用“错位相减法”即可得出Tn ， 利用不等式（﹣1） ，通过对n分为偶数与奇数讨论即可．
【考点精析】利用等比关系的确定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断．