Question

（理科）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=4，M为PA的中点，N为BC的中点．
（1）求点B到平面PCD的距离；
（2）求二面角M-ND-A的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由V_P-BCD=V_B-PCD，计算得．
（2）以点A为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系．则M（0，0，2），N（2，1，0），D（0，2，0）．平面AND的一个法向量为，用向量法求解．
解答：解：（1）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=4，
∴V_P-BCD==，
，，CD=2，
∴
=2，
设点B到平面PCD的距离为h，
∵V_P-BCD=V_B-PCD，
∴，
计算得．
（等积式或计算V_p-BCD体积（2分），结果2分）
（2）以点A为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系．
（1分）
则M（0，0，2），N（2，1，0），D（0，2，0）．
平面AND的一个法向量为，（3分）
设平面MND的法向量为n₂（x，y，z），那么：，
由此得：，所以平面MND的其中一个法向量为（6分）
计算得：．即：二面角M-ND-A的大小为．       （8分）
点评：本题考查线面位置关系、点面距的计算、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．