题目内容

是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？

答案：
解析：

　　如图所示，在正△ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，满足、、两两不共线，有(＋)·(＋)

　　＝(＋＋＋)·(＋＋)

　　＝(2＋＋)·(2＋)

　　＝(2－)·(2＋)

　　＝42－2

　　＝0．

　　∴有(＋)与(＋)垂直．

　　同理可证其他情况．

　　从而、、、满足题意．故存在这样的4个平面向量．


提示：

本题是一个探索性问题，解决本题的关键在于构造一个正三角形及其内切圆，得到四个向量，这也是本题的难点．然后利用向量之间的关系，运用数量积的运算律论证＋与＋垂直．


练习册系列答案
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在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α=（a，b），β=（c，d），规定：α⊙β=(
.
a-c
bd
.
，
.
da
cb
.
)．
（1）计算：（2，3）⊙（-1，4）；
（2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律，并任选其一证明；
（3）A中是否存在唯一确定的元素I满足：对于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，若存在，请求出元素I；若不存在，请说明理由；
（4）试延续对集合A的研究，请在A上拓展性地提出一个真命题，并说明命题为真的理由．
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在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α=（a，b），β=（c，d），规定：α⊙β=．
（1）计算：（2，3）⊙（-1，4）；
（2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律，并任选其一证明；
（3）A中是否存在唯一确定的元素I满足：对于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，若存在，请求出元素I；若不存在，请说明理由；
（4）试延续对集合A的研究，请在A上拓展性地提出一个真命题，并说明命题为真的理由．

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