Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+3．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求证数列{a_n+3}为等比数列；
（Ⅲ）令b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用递推式，分别令n=2，3，4即可；
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+3=2（a_n+3），根据等比数列的定义可作出证明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求出a_n，进而得到b_n，分别利用错位相减法及分组求和法可求得结果；

解答：（Ⅰ）解：由a_n+1=2a_n+3得，a₂=2a₁+3=7，a₃=2a₂+3=17，a₄=2a₃+3=37；
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+3=2（a_n+3），
又a₁+3=5，知

an+1+3

an+3

=2，
所以数列{a_n+3}是以5为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知an+3=5•2n-1，故an=5•2n-1-3；
所以bn=5n•2n-1-3n，
令Tn=5•20+5•2•21+5•3•22+…+5•n•2^n-1①，
2Tn=5•21+5•2•22+5•3•23+…+5•n•2ⁿ②，
①-②得，-T_n=5（1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ）=5•

1-2n

1-2

-5n•2ⁿ=5（1-n）•2ⁿ-5，
所以T_n=5（n-1）•2ⁿ+5，
利用分组求和法，可得Sn=5(n-1)•2n-

3n(n+1)

2

+5；

点评：本题考查数列递推式、数列求和、等比数列的定义等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．