题目内容
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，—2），点C满足
，其中
，且
，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线
（a>0，b>0）相交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：
为定值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于
，求双曲线实轴长的取值范围。
；
为定值 ；
解析:
解：（1）设
，则
∴
∵ ∴
（2）联立 
设
，
，则
，
又 OM⊥ON ∴ 
∴ 
韦达定理代入化简得： 
∴ 为定值
（3）∵
∴ 
又由（2）得 
代入得 
∵
∴ 
∴
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