Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．
（2）根据x的范围进而可确定当2x+

π

6

的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．

解答：解：（1）由最低点为M(

2π

3

，-2)得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为

π

2

得

T

2

=

π

2

，
即T=π，ω=

2π

T

=

2π

π

=2
由点M(

2π

3

，-2)在图象上的2sin(2×

2π

3

+φ)=-2，即sin(

4π

3

+φ)=-1
故

4π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈Z∴φ=2kπ-

11π

6

又φ∈(0，

π

2

)，∴φ=

π

6

，故f(x)=2sin(2x+

π

6

)
（2）∵x∈[

π

12

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值2；当2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

时，f（x）取得最小值-1，
故f（x）的值域为[-1，2]

点评：本题主要考查本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式的问题及正弦函数的单调性问题．属基础题．