Question

如图，在△ABC中，已知B=

π

3

，AC=2

3

，D为BC边上一点．
（Ⅰ）若S△ABC=2

3

，求BC的长；
（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的取值范围．

Answer 1

分析：由正弦定理可得，

AC

sinB

=

AB

sinC

=

BC

sinA

可得AB=4sinC，BC=4sinA
（I）由S△ABC=2

3

，结合三角形的面积公式可得sinCsinA=

1

2

，结合A+C=120°及两角差的正弦公式可求C，A代入即可求解BC
（II）由AD=AB，B=60°可知A＞60°，结合图形可知周长l=AD+AC+DC=4sinA+2

3

，结合正弦函数的性质可求

解答：解：∵B=

π

3

，AC=2

3

∴A+C=120°即A=120°-C
由正弦定理可得，

AC

sinB

=

AB

sinC

=

BC

sinA

=

2 3

3 2

=4
∴AB=4sinC，BC=4sinA
（I）∵S△ABC=2

3

∴

1

2

AB•BCsinB=2

3

∴4sinC•4sinA×

3

2

=4

3

∴sinCsinA=

1

2

∴sinCsin（120°-C）=

1

2

∴

3

2

sinCcosC+

1

2

sin2C=

1

2

∴

3

2

sin2C-

1

2

cos2C=

1

2

即sin（2C-30°）=

1

2

∴2C-30°=30°或150°
∴

C=30° B=60° A=90°

或

C=90° B=60° A=30°

当A=90°时，BC=4sinA=4
当A=30°时，BC=4sinA=2
（II）∵AD=AB，B=60°
∴A＞60°
∵AD=AB=4sinC，BC=4sinA
∴CD=4sinA-4sinC
周长l=AD+AC+DC=4sinA+2

3

∵60°＜A＜120°
∴

3

2

＜sinA≤1
∴2

3

＜l≤4+2

3

点评：本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，两角差的正弦公式、辅助角公式、正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键