Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R），记函数F（x）=f（x）-g（x），
（1）判断函数F（x）的零点个数；
（2）若函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
（3）若a＞0，设F（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）求出函数F（x）的表达式，根据判别式即可判断函数零点的个数．
（2）根据函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，即可求实数a的取值范围．
（3）根据函数F（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），讨论对称轴与区间的关系，即可求出g（a）．的表达式

解答：解：（1）∵f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R），
∴函数F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3．
则判别式△=a²-4（-3）=a²+12＞0，
∴函数F（x）的零点个数有2个．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3．
∴|F（x）|=|x²-ax-3|=

x2-ax-3，F(x)≥0 -x2+ax+3，F(x)＜0

，
当a≤0时，对应的图象为：，
当a＞0时，对应的图象为：，
∴要使函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，
则

a≤0 F(1)≤0

，解得-2≤a≤0．
（3）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3=（x-

a

2

）²-

a2

4

-3，
∴对称轴x=

a

2

，
①若

a

2

≤1，即0＜a≤2时，函数F（x）在[1，2]上单调递增，∴F（x）最小值为g（a）=F（1）=-2-a．
②若

a

2

≥2，即a≥4时，函数F（x）在[1，2]上单调递减，∴F（x）最小值为g（a）=F（2）=1-a．
③若1＜

a

2

＜2，即2＜a＜4时，函数F（x）在[1，2]上不单调，∴函数F（x）最小值为g（a）=F（

a

2

）=-

a2

4

-3．
综上：g（a）=

-2-a，0＜a≤2 - a2 4 -3， 2＜a＜4 1-a，a≥4

．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法得到二次函数的对称轴，根据对称轴和单调区间之间的关系是解决本题的关键．