如图5 .在四棱锥P-ABCD 中.PA⊥平面ABCD .AB=4.BC=3.AD=5.∠DAB=∠ABC=90°.E 是CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面PAE , (2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等.求四棱锥P-ABCD的体积. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图5 ，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点。

（1）证明：CD⊥平面PAE ；
（2）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积。

解：（1）连接AC ，由AB=4 ，

，

，E是CD的中点，
所以

所以

而

内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE。
（2）过点B作

由（1）CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE
于是

为直线PB与平面PAE所成的角，
且

由

知，

为直线

与平面

所成的角

由题意，知

因为

所以

由

所以四边形

是平行四边形，
故

于是

在

中，

所以

于是

又梯形

的面积为

所以四棱锥

的体积为

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（2012•湖南）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积．

（2009•滨州一模）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且
PB=PC=

．
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如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.