Question

如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

 

Answer 1

【答案】

（1）证明略

（2）

【解析】

解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，

Ｅ是ＣＤ的中点，所以

所以

而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

（Ⅱ）过点Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE

所成的角，且.

由知，为直线与平面所成的角.

由题意，知

因为所以

由所以四边形是平行四边形，故于是

在中，所以

于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知因为

所以而是平面内的两条相交直线，所以

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与

所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得.又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为.

【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.