Question

一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积V表示为x的函数；
（2）x多大时，方盒的容积V最大？

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a-2x，高为x，从而写出函数表达式；
（2）求导V′（x）=12x²-8ax+a²=（6x-a）（2x-a），由导数可得在x=

a

6

时函数V（x）有最大值．

解答： 解：（1）由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，
所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a-2x，高为x，
则无盖方盒的容积V（x）=（a-2x）²x，0＜x＜

a

2

；
（2）∵V（x）=（a-2x）²x=4x³-4ax²+a²x，0＜x＜

a

2

；
∴V′（x）=12x²-8ax+a²=（6x-a）（2x-a），
∴当x∈（0，

a

6

）时，V′（x）＞0；
当x∈（

a

6

，

a

2

）时，V′（x）＜0；
故x=

a

6

是函数V（x）的最大值点，
即当x=

a

6

时，方盒的容积V最大．

点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及导数在求最值时的应用，属于中档题．