Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）如果当，且时，恒成立，求实数的范围.

Answer 1

【答案】(1)的单调递增区间和；的单调递减区间.

(2)实数的取值范围是.

【解析】分析：（1）求出函数的导数，对分和两种情况讨论，即可得到函数的单调性；

（2）由题意把式子化为，设，

由（1）的结论，即可求解实数的取值范围；或把可化为，设，求得得出函数的单调性，令洛必达法则求解.

详解：（1）定义域为，，

设，，

①当时，对称轴，，所以，在上是增函数，

②当时，，所以，在上是增函数，

③当时，令得，，

令，解得，；令，解得，

所以的单调递增区间和；的单调递减区间.

（2）可化为，设，

由（1）知：

①当时，在上是增函数，若时，；

所以，

若时，，所以，所以，当时，式成立.

②当时，在是减函数，所以式不成立，

综上，实数的取值范围是.

解法二：可化为，设

，，

令，，

，，；，；

，在上，又，

，，，；

所以，；，；在，，

由洛必达法则 ，所以.