Question

对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.

    （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）

    （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.

求证：（k=1,2,…,m）；（6分）

    （3）设m=100，常数.若，是的控制数列，

求.

 

Answer 1

【答案】

（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

  2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.（2）见解析；（3）.

【解析】（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

                      2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.                        ……4分

    （2）因为，，

         所以.                                            ……6分

         因为，，

         所以，即.              ……8分

         因此，.                                          ……10分

    （3）对，；；

         ；.

         比较大小，可得.                             ……12分

     因为，所以，即；

                       ，即.

    又，

从而，，，.   ……15分

        因此

            =

            =

            ===.      ……18分