Question

设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称．对任意x₁、x₂∈[0，]都有f(x₁＋x₂)＝f(x₁)·f(x₂)．

(1)设f(1)＝2，求f()，f()；

(2)证明f(x)是周期函数．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　(1)由f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，x1、x2∈[0，]知f(x)＝f()·f()≥0，x∈[0，1]． 　　∵f(1)＝f()·f()＝[f()]2，∴f()＝． 　　同理：f()＝[f()]2，∴f()＝ 　　(2)依题设y＝f(x)关于直线x＝1对称， 　　故f(x)＝f(1＋1－x)， 　　即f(x)＝f(2－x)，x∈R． 　　又由f(x)是偶函数知f(－x)＝f(x)，x∈R， 　　∴f(－x)＝f(2－x)，x∈R， 　　将上式中－x以x代换，得f(x)＝f(x＋2)，x∈R， 　　这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．