Question

（2010•湖北模拟）已知：经过点A(-

2

，0)，B(

2

，0)的动圆与y轴交于M、N两点，C（-1，0），D（1，0）是x轴上两点，直线MC与ND相交于P．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）直线GH交轨迹E于G、H两点，并且

OG

•

OH

=0（O是坐标原点），求点O到直线GH的距离．

Answer 1

分析：（1）利用消参法来求轨迹方程，先设点P的坐标，M，N的坐标，根据圆的对称性，经过点A(-

2

，0)，B(

2

，0)的动圆圆心必在y轴上，可知MB⊥NB，在Rt△MNB中应用勾股定理，求出M，N点坐标之间的关系，再根据M，N点坐标，设出直线MC与
ND方程，联立，消去参数，即可得到点P的轨迹E的方程．
（2）设出直线GH方程，代入（1）中所求双曲线方程，化简，求x₁+x₂，x₁x₂，用含参数的式子表示，在根据

OG

•

OH

=0，化简直线GH方程，再用点到直线的距离公式点O到直线GH的距离．

解答：解：（1）设M（0，m），N（0，n），P（x，y）
则

y=m(x+1) y=-n(x-1)

两式相乘得：y²=-nm（x²-1）
连MB、NB，则MB⊥NB，在Rt△MNB中
知|OB|²=|OM||ON|
∴mn=-2∴y²=2（x²-1）
即x2-

y2

2

=1
故P的轨迹方程为x2-

y2

2

=1
（2）当直线GH与x轴垂直时，设G（x₀，y₀），则H（x₀，-y₀）
从而x₀²-y₀²=0
又∵

x

2 0

-

y 2 0

2

=1∴

x

2 0

=2∴|x0|=

2

∴O到直线GH的距离为

2

．
当直线与x轴不垂直时，设其方程为y=kx+m
代入x2-

y2

2

=1并整理得：（2-k²）x²-2mkx-m²-2=0
设G(x1，y1)，H(x2，y2)则x1+x2=

2mk

2-k2

，x1x2=

m2+2

k2-2

…（*）
∵x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
将（*）代入并整理和m²=2（1+k²）∴O到GH的距离d=

|m|

1+k2

=

2

故O到GH的距离为

2

点评：本题主要考查了消参法求轨迹方程，以及直线与双曲线位置关系的判断及应用．