Question

14．如图，在空间直角坐标系中有一棱长为m的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F，G，分别为A₁B₁，B₁C₁，BB₁的中点，H为△EFG的重心，求DH的长度．

Answer 1

分析 直接求出重心坐标，利用空间距离公式求解即可．

解答 解：在空间直角坐标系中有一棱长为m的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F，G，分别为A₁B₁，B₁C₁，BB₁的中点，H为△EFG的重心，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知三角形EFG是正三角形，E（m，$\frac{1}{2}m$，m），F（m，m，$\frac{1}{2}m$），G（$\frac{1}{2}m$，m，m），
可得H（$\frac{m+m+\frac{1}{2}m}{3}$，$\frac{m+m+\frac{1}{2}m}{3}$，$\frac{m+m+\frac{1}{2}m}{3}$），即H（$\frac{5m}{6}，\frac{5m}{6}，\frac{5m}{6}$），
AH=$\sqrt{（\frac{5m}{6}）^{2}+（\frac{5m}{6}）^{2}+（\frac{5m}{6}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}m}{6}$．
DH的长度：$\frac{5\sqrt{3}m}{6}$．

点评 本题考查空间距离公式的应用，考查计算能力．