Question

6．（1）已知矩阵M=$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\{b}&{1}\end{array}]$，其中a，b均为实数，若点A（3，-1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值；
（2）在极坐标中，设直线θ=$\frac{π}{3}$与曲线ρ²-10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\{b}&{1}\end{array}][\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]=[\begin{array}{l}{3}\\{5}\end{array}]$，从而求出a=3，b=2，进而得到矩阵M的特征多项式为f（λ），令f（λ）=0，能求出矩阵M的特征值．
（2）联立直线l与曲线C的方程组可得ρ²-5ρ+4=0，解得ρ₁=1，ρ₂=4，利用中点坐标公式即可得出线段AB中点的极坐标．

解答 解：（1）∵矩阵M=$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\{b}&{1}\end{array}]$，其中a，b均为实数，若点A（3，-1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），
∴$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\{b}&{1}\end{array}][\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]=[\begin{array}{l}{3}\\{5}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2×3-a=3}\\{3×b-1=5}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=2，
∴矩阵M的特征多项式为f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-2}&{-3}\\{-2}&{λ-1}\end{array}|$=（λ-2）（λ-1）-6=λ²-3λ-4，
令f（λ）=0，
得到两个特征值分别为λ₁=-1，λ₂=4．
（2）联立直线l与曲线C的方程组$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{3}}\\{{ρ}^{2}-10ρcosθ+4=0}\end{array}\right.$，
消去θ，得ρ²-5ρ+4=0，
解得ρ₁=1，ρ₂=4，
∴线段AB中点的极坐标为（$\frac{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}{2}$，$\frac{π}{3}$），即（$\frac{5}{2}$，$\frac{π}{3}$）．

点评 本题考查了矩阵特征值、直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．