Question

设A={（x，y）|y≤-|x-3|}，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，b为常数，A∩B≠?．
（1）b的取值范围是

 

；
（2）设P（x，y）∈A∩B，点T的坐标为(1， 

3

)，若

OP

在

OT

方向上投影的最小值为-5

3

，则b的值为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据A={（x，y）|y≤-|x-3|}，利用函数图象的平移变换，由f（x）=|x|图象得到f（x）=|x-3|的图象，再利用函数图象的对称变换得到f（x）=-|x-3|的图象，因此可以求出集合A表示的平面区域，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，表示x轴上方的阴影区域沿y轴上下平移，根据A∩B≠?可求得b的取值范围；（2）根据P（x，y）∈A∩B，得到x，y应满足的条件

y≤-|x-3 y≥2|x|+b b≤-3

，根据向量数量积的几何意义即可表示出

OP

在

OT

方向上投影，再利用线性规划的知识求解即可．

解答：解：（1）先画出函数f（x）=|x|图象，再把该图象向右平移3个单位长度，得到f（x）=|x-3|的图象，
然后再作关于x轴的对称图象得到f（x）=-|x-3|的图象，
∴A={（x，y）|y≤-|x-3|}，
表示x轴下方阴影区域，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，
表示x轴上方的阴影区域沿y轴上下平移，
∵A∩B≠?．
∴b≤-3；（2）∵设P（x，y）∈A∩B，
∴

y≤-|x-3 y≥2|x|+b b≤-3

，
而

OP

•

OT

=x+

3

y，

OP

在

OT

方向上投影为

OP • OT

| OT |

=

x+ 3 y，

2

，
根据线性规划可求当x=0，y=b时，

OP • OT

| OT |

=

x+ 3 y，

2

取最小值-5

3

，
代入解得b=-10．
故答案为：b≤-3；-10．

点评：此题是个中档题．考查图象的平移变化、对称变换，以及向量的数量积的几何意义，线性规划求最值等基础知识，体现了数形结合和运动变化的思想，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．