Question

【题目】已知函数， 在和处取得极值，且，曲线在处的切线与直线垂直．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）证明关于的方程至多只有两个实数根（其中是的导函数， 是自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求，根据韦达定理及列出关于 的方程组，进而可得结果；（Ⅱ）圆方程等价于，令，研究函数 的单调性，讨论与两种情况分别证明即可.

试题解析：（Ⅰ） ，因为在和处取得极值，

所以和是方程的两个根，则， ，

又，则，所以.

由已知曲线在处的切线与直线垂直，所以可得，

即，由此可得解得

所以

（Ⅱ）对于，

（1）当时，得，方程无实数根；

（2）当时，得，令，

，

当时， ；

当或时， ；当时， ．

∴的单调递减区间是和，单调递增区间是，

函数在和处分别取得极小值和极大值．

， ，

对于，由于恒成立，

且是与轴有两个交点、开口向上的抛物线，

所以曲线与轴有且只有两个交点，从而无最大值， ．

若时 ，直线与曲线至多有两个交点；

若 ，直线与曲线只有一个交点；

综上所述，无论取何实数，方程至多只有两实数根．