Question

【题目】已知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点M到y轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点Q满足．

（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（II）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、 两点，设线段AB的中点为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）将抛物线上的点到轴的距离等于和抛物线的定义相结合，可得，可得抛物线的方程，已知在椭圆中的值，由可得点Q的坐标，结合椭圆的定义可得椭圆的方程；（2）联立直线与抛物线的方程，结合其有一个交点可得关系式，联立直线与椭圆的方程根据椭圆与直线有2个交点即，得到关于不等式，解不等式可得的取值范围，由中点坐标公式及韦达定理可得，从而可得其范围.

试题解析：（1）∵抛物线上的点到轴的距离等于，

∴点M到直线的距离等于点到焦点的距离，

得是抛物线的准线，即，

解得，∴抛物线的方程为；

可知椭圆的右焦点，左焦点，

由得，又，解得，

由椭圆的定义得，

∴，又，得，

∴椭圆的方程为．

（2）显然， ，

由，消去，得，

由题意知，得，

由，消去，得，

其中，

化简得，

又，得，解得，

设，则<0，

由，得，∴的取值范围是．