题目内容

设向量
OQ
=(
3
， -1)，向量
OP
=(cosα，  sinα)，0≤α＜π．
（1）若向量
OP
⊥
OQ
，求tanα的值；
（2）求|
PQ
|的最大值及此时α的值．
分析：（1）利用向量
OP
⊥
OQ
，推出量
OP
•
OQ
=0，得到
3
cosα- sinα=0，然后求tanα的值；
（2）表示出|
PQ
|，化为一个角的一个三角函数的形式，根据0≤α＜π，求|
PQ
|的最大值及此时α的值．
解答：解：（1）由于
OP
⊥
OQ
，则
3
cosα- sinα=0，（3分）
显然cosα≠0，两边同时除以cosα得，tanα=
3
；（6分）
（2）由于|
PQ
|=
(cosα-
3
)2+(sinα+1)2
，（8分）
即|
PQ
|=
5+2sinα-2
3
cosα
，
∴|
PQ
|=
5+4(
1
2
sinα-
3
2
cosα
)=
5+4sin(α-
π
3
)（10分）
由于0≤α＜π，则-
π
3
≤α-
π
3
＜
2π
3
，（11分）
则α-
π
3
=
π
2
，即α=
5π
6
时，|
PQ
|最大值为3．（13分）
点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，考查学生运算能力，三角函数的值域，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知圆C：x2+y2=4．
（1）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2
3
，求直线l的方程；
（2）过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量
OQ
=
OM
+
ON
，求动点Q的轨迹方程．
（3）若点R（1，0），在（2）的条件下，求|
RQ
|的最小值．
（2012•湖南模拟）设向量
a
=(a1，a2)，
b
=(b1，b2)，定义一种向量积
a
?
b
=(a1b1，a2b2)，已知
m
=(2，
1
2
)，
n
=(
π
3
，0)，点P（x，y）在y=sinx的图象上运动．Q是函数y=f（x）图象上的点，且满足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中O为坐标原点），函数y=f（x）的值域是
[-
1
2
，
1
2
]
[-
1
2
，
1
2
]
．
（2013•门头沟区一模）设向量
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），定义一种向量积：
a
?
b
=（a1，a2）?（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知
m
=（
1
2
，3），
n
=（
π
6
，0），点P在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值是
3
3
．
设向量
OQ
=(
3
， -1)，向量
OP
=(cosα，  sinα)，0≤α＜π．
（1）若向量
OP
⊥
OQ
，求tanα的值；
（2）求|
PQ
|的最大值及此时α的值．

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