Question

（2013•门头沟区一模）设向量

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂），定义一种向量积：

a

?

b

=（a₁，a₂）?（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知

m

=（

1

2

，3），

n

=（

π

6

，0），点P在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值是

3

．

Answer 1

分析：先设出点P、Q的坐标，根据（x，f（x））=m?n得到P、Q的坐标之间的关系，从而写出函数f（x）的解析式得到答案．

解答：解：设P（x₀，y₀），Q（x，f（x）），∵

OQ

=

m

?

OP

+

n

，
∴（x，f（x））=（

1

2

x₀+

π

6

，3y₀ ），故 x=

1

2

x₀+

π

6

，f（x）=3y₀ ．
∴x₀=2x-

π

3

，∴y₀=

1

3

 f（x）．又y₀=sinx₀ ，∴sin（2x-

π

3

）=

1

3

f（x），
∴f（x）=3sin（2x-

π

3

），
故y=f（x）的最大值是 3，
故答案为 3．

点评：本题主要考查三角函数的最值和最小正周期的求法．这个题要先从条件中抽象出函数的解析式来，再解题，属于中档题．