题目内容
平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点M（1，-3）N（5，1），若点C满足
=t
+(1-t)
(t∈R)．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点，求证：
⊥
；
（Ⅲ）求以AB为直径的圆的方程．
| OC |
| OM |
| ON |
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点，求证：
| OA |
| OB |
（Ⅲ）求以AB为直径的圆的方程．
（Ⅰ）：由
=t
+(1-t)
(t∈R)
知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：y+3=
(x-1)即y=x-4（3分）
（Ⅱ）由
?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1x2=16x1+x2=12（6分）
∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-16（8分）
∴x1x2+y1y2=0故
⊥
（10分）
（Ⅲ）∵x1+x2=12，∴y1+y2=x1+x2-8=12-8=4
∴AB的中点C的坐标为（6，2）．
又∵
⊥
，∴|OC|=2
为圆的半径．
∴所求圆的方程为（x-6）2+（y-2）2=40（14分）
| OC |
| OM |
| ON |
知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：y+3=
| 1-(-3) |
| 4 |
（Ⅱ）由
|
设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1x2=16x1+x2=12（6分）
∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-16（8分）
∴x1x2+y1y2=0故
| OA |
| OB |
（Ⅲ）∵x1+x2=12，∴y1+y2=x1+x2-8=12-8=4
∴AB的中点C的坐标为（6，2）．
又∵
| OA |
| OB |
| 10 |
∴所求圆的方程为（x-6）2+（y-2）2=40（14分）
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足
=α
+β
，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）
| OC |
| OA |
| OB |
| A、3x+2y-11=0 |
| B、（x-1）2+（y-2）2=5 |
| C、2x-y=0 |
| D、x+2y-5=0 |
已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，O为原点，设椭圆的方程为