Question

已知复数：z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记z₁z₂的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数．
（1）求k的值；
（2）求函数y=f（log₂x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值．

Answer 1

（1）∵z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi
∴z₁•z₂=[log₂（2^x+1）+ki]•（1-xi）
=[log₂（2^x+1）+kx]+[k-x•log₂（2^x+1）+ki]i
f（x）=log₂（2^x+1）+kx
设定义域R中任意实数，由函数f（x）是偶函数
得：f（-x）=f（x）恒成立
∴log₂（2^x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx
2kx=log₂（

2-x-1

2x+1

）=-x
（2k+1）x=0
得：k=-

1

2

（2）由（1）可知f（x）=log₂（2^x+1）-

1

2

x，
所以y=f（log₂x）=log₂（x+1）-

1

2

log₂x=log₂

x+1

x

=

log	( x + 1 x )2

，
所以x∈（0，a]，a＞0，a∈R时，
ymin=

log2( a + 1 a )(0＜a≤1) 1(a＞1)