Question

5．计算$\frac{d}{dx}$${∫}_{\frac{1}{x}}^{\sqrt{x}}$cost²dt（x＞0）

Answer 1

分析 直接运用公式$\frac{d}{dx}$${∫}_{u（x）}^{v（x）}f（t）dt$=f[v（x）]v'（x）-f[u（x）]u'（x）计算．

解答 解：直接运用公式计算，公式如下：
$\frac{d}{dx}$${∫}_{u（x）}^{v（x）}f（t）dt$=f[v（x）]v'（x）-f[u（x）]u'（x），
本题中，u（x）=$\frac{1}{x}$，v（x）=$\sqrt{x}$，f（t）=cost²，所以，
原式=f（$\sqrt{x}$）（$\sqrt{x}$）'-f（$\frac{1}{x}$）（$\frac{1}{x}$）'
=cosx•$\frac{1}{2\sqrt{x}}$+cos$\frac{1}{x^2}$•$\frac{1}{x^2}$，
即$\frac{d}{dx}$${∫}_{\frac{1}{x}}^{\sqrt{x}}cost^2dt$=cosx•$\frac{1}{2\sqrt{x}}$+cos$\frac{1}{x^2}$•$\frac{1}{x^2}$．

点评 本题主要考查了导数与定积分的运算，涉及公式的灵活应用，属于中档题．