Question

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1)过点(3,-4);

(2)焦点在直线x+3y+15=0上.

Answer 1

分析:求抛物线要先确定类型,能先确定类型就可设相应的标准方程,否则要分情况讨论.两题都可分两种情况讨论,(1)题也可用待定系数法.

解法一:(1)∵点(3,-4)在第四象限,

∴抛物线的标准方程为y²=2px(p＞0)或x²=-2p₁y(p₁＞0).

把点(3,-4)的坐标分别代入y²=2px和x²=-2p₁y,

得(-4)²=2p·3,3²=-2p₁·(-4),

即2p=,2p₁=.

∴所求抛物线的方程为y²=x或x²=-y.

(2)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15.

∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).

∴所求抛物线的标准方程为y²=-60x或x²=-20y.

解法二:

(1)∵点(3,-4)在第四象限,

∴抛物线的方程可设为y²=ax或x²=by.

把点(3,-4)分别代入,可得a=,b=-.

∴所求抛物线的方程为y²=x或x²=-y.

(2)同解法一.

绿色通道：

求抛物线的标准方程需要:(1)求p;(2)判断焦点所在的坐标轴.

黑色陷阱：

本题最易求得一解,即忽视答案的多样性,要明确抛物线的类型是四种形式,因此,需要在不同的问题背景下时刻辨别其类型形式.