Question

已知0＜x＜

π

2

＜y＜π，cos（y-x）=

5

13

．若tan

x

2

=

1

2

，分别求：
（1）sin

x

2

和cos

x

2

的值；
（2）cosx及cosy的值．

Answer 1

分析：（1）利用半角的正切函数公式求出tanx，然后根据切化弦得到cosx，再根据两角和的余弦函数公式得到cos

x

2

，利用同角三角函数间的基本关系求出sin

x

2

即可；
（2）由cos（y-x）根据y-x的范围及同角三角函数间的基本关系求出sin（y-x）即可得到tan（y-x），因为tanx=

4

3

，可得tany的值，然后利用弦切互化公式求出cosy即可．

解答：解：（1）由tanx=

2tan x 2

1-tan2 x 2

=

2× 1 2

1-( 1 2 )2

=

4

3

且x为锐角，
所以cosx=

1

1+tan2 x

=

3

5

，
因为cosx=2cos2

x

2

-1=

3

5

，
解得cos

x

2

=

2 5

5

，
而tan

x

2

=

sin x 2

cos x 2

=

1

2

，
所以sin

x

2

=

1

2

cosx=

5

5

；
（2）由题知0＜y-x＜π，而cos（y-x）=

5

13

得到y-x为锐角，
所以sin（y-x）=

1-( 5 13 )2

=

12

13

，则tan（y-x）=

tany-tanx

1-tanytanx

=

12

5

．
由tanx=

4

3

，所以tany=

8

9

．则cosx=

3

5

，
因为y为钝角，所以cosy=-

1

1+tan2y

=-

81 145

145

．

点评：此题考查学生灵活运用弦切互化公式、同角三角函数间的基本关系及两角和与差的余弦函数公式化简求值，做题时学生应注意角度的范围．