题目内容

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=-2-3t
y=2-4t
(t为参数)它与曲线C：（y-2）2-x2=1交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为(2
2
，
3π
4
)，求点P到线段AB中点M的距离．
分析：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2-12t-5=0，求出t1+t2和t1•t2，根据|AB|
=
(-3)2+(-4) 2
•|t1-t2|=5
(t1+ t 2)2-4 t1•t 2
，运算求得结果．
（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为
t1+ t 2
2
=
6
7
． 由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=
(-3)2+(-4) 2
•|
6
7
|，运算求得结果．
解答：解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2-12t-5=0，
设A，B对应的参数分别为 t1 和t2，则  t1+t2=
12
7
，t1•t2 =-
5
7
．     …（3分）
所以|AB|=
(-3)2+(-4) 2
•|t1-t2|=5
(t1+ t 2)2-4 t1•t 2
=
10
71
7
． …（5分） 
（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（-2，2），
根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为
t1+ t 2
2
=
6
7
．   …（8分）
所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=
(-3)2+(-4) 2
•|
6
7
|=
30
7
．  …（10分）
点评：本题主要考查直线的参数方程、点到直线的距离公式，用极坐标刻画点的位置，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t为参数），若以直角坐标系xoy 的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-
π
4
）．直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC
交于点D．求证：ED2=EB•EC．
B．选修4-2：矩阵与变换
求矩阵M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于点．A，B，C，求线段AB的长．
D．选修4-5：不等式选讲
对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．
（2013•辽宁）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ-
π
4
）=2
2
．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为
x=t3+a
y=
b
2
t3+1
（t∈R为参数），求a，b的值．
选修4-4：
坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，曲线C1为x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ为参数）．
在以0为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C2的方程为ρ=6cosθ，射线ι为θ=α，ι与C1的交点为A，ι与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（1）求C1，C2的直角坐标方程；
（2）若过点P（1，0）且斜率为
3
的直线m与曲线C1交于D、E两点，求|PD|与|PE|差的绝对值．
（2011•晋中三模）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为：
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ为参数），把曲线c1上所有点的纵坐标压缩为原来的一半得到曲线c2，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2
ρcos(θ-
π
4
)=4．
（1）求曲线c2的普通方程，并指明曲线类型；
（2）过（1，0）点与l垂直的直线l1与曲线c2相交与A、B两点，求弦AB的长．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网