题目内容

已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+y）=F（x）+F（y），当x＞0时，F（x）＜0，且对任意的 $数学公式$ 均成立，
（1）求证：函数F（x）在R上为减函数
（2）求实数k的取值范围．

解：（1）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0∴F（x₂-x₁）＜0 …
∴F（x₂）=F（x₂-x₁）+F（x₁）＜F（x₁）∴函数F（x）在R上为减函数 …
（2）∵函数F（x）在R上为减函数∴ $\text{[math]}$ 对x∈[0，1]成立，…
依题有 $\text{[math]}$ 成立
由于f（x）＜0对x∈[0，1]成立∴ $\text{[math]}$ ①…
由于g（x）＞0对x∈[0，1]成立∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 恒成立∴k＜2②…
综上由①、②得-3＜k＜2…
分析：（1）根据函数单调性的定义证明，设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0然后判定F（x₂）与F（x₁）的大小即可得到结论；
（2）根据函数的单调性可得 $\text{[math]}$ 对x∈[0，1]成立，然后转化成 $\text{[math]}$ 对x∈[0，1]成立，最后求出f（x）＜0对x∈[0，1]成立时k的范围，以及g（x）＞0对x∈[0，1]成立时k的范围，再求交集即可．
点评：本题主要考查了函数单调性的判定和不等式恒成立问题，是一道综合题，有一定的难度，属于难题．