Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ⁺²-2，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数{a_n}满足b_n=

Sn

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，易求当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，当n=1时，a₁=2，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2（1-

1

2n

），从而利用分组求和法即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，
又当n=1时，a₁=S₁=2，符合上式，
∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）b_n=

2(2n-1)

2n

=2（1-

1

2n

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[（1-

1

2

）+（1-

1

22

）+…+（1-

1

2n

）]
=2[n-（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）]
=2[n-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

]
=2n+

1

2n-1

-2．

点评：本题考查数列的求和，着重考查知S_n求a_n型问题的解法，突出考查分组求和法的应用，属于中档题．