Question

设f(x)=

x2+1(x≥0) x+1(x＜0)

，求其反函数f^-1（x），又若g（x）=x+2，求f^-1{g[f（x）]}．

Answer 1

分析：由于函数f(x)=

x2+1(x≥0) x+1(x＜0)

是一分段函数，故其反函数应分段来求，再代入f^-1{g[f（x）]}化简得解析式．

解答：解：当x≥0时，令y=x²+1≥1，解得x=

y-1

，交换x，y的位置，得y=

x-1

，
同理求出x＜0时令y=x+1＜1解得其反函数的解析式 
为 y=x-1，
即 f^-1（x）=

x-1 ，x≥1 x-1    x＜1

，
又若g（x）=x+2，
故g[f（x）]=

x2+3    x≥0 x+3      x＜0

，
f^-1{g[f（x）]}=

x2+2   x≥0 x+2     -2≤x＜0  x-2      x＜-2

．

点评：本题考点是反函数，综合考查了反函数的求法，以及复合型的分段函数的求解方法，本题是一个易错题，尤其是在最后一问求f^-1{g[f（x）]}的解析式，要根据外层函数的定义域对内层函数的定义域进行分类．