Question

某县位于沙漠边缘地带，人与自然长期进行顽强的斗争，到1999年底全县的绿化率已达到30％，从1999年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16％被栽上树，改造成绿洲，而同时原有绿洲面积的4％又被侵蚀，变为沙漠．

(1)设全县面积为1，1999年底绿洲面积a₁＝，经过一年(指2000年底)绿洲面积为a₂，经过n年绿洲面积为a_n+1，求证：a_n+1＝a_n＋．

(2)问至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过60％？

Answer 1

答案：
解析：

答：约经过五年的努力，绿洲面积可超过60％． 　　解：(1)设1999年底绿洲面积为b1，经过n年绿洲面积为bn+1，则a1＋b1＝1且an＋bn＝1． 　　因为绿洲面积an+1由两部分组成，一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀掉的面积an－an＝an；另一部分是新绿洲面积bn，所以an+1＝an＋bn＝an＋(1－an)，即an+1＝an＋． 　　(2)∵an+1－＝(an－)， 　　∴{an－}是公比为的等比数列． 　　∴an－＝(a1－)×()n－1＝－×()n－1．∴an＝－×()n－1． 　　令an≤60％＜an+1，即－×()n－1≤＜－×()n， 　　得()n＜≤()n－1， 　　两边取对数，得nlg＜lg≤(n－1)lg， 　　则＜n≤＋1，＝≈4.1． 　　∴4.1＜n≤5.1．