已知函数y=x+$\frac{a}{x}$有如下性质:当a＞0时.函数在(0.$\sqrt{a}$]单调递减.在[$\sqrt{a}$.+∞)单调递增．定义在=|t-5|.其中t＞0．分别在区间上单调.求t的取值范围-k=0有四个不相等的实数根x1.x2.x3.x4.求x1+x2+x3+x4的取值范围(3)当t=1时.是否存在实数a.b且0＜a� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知函数y=x+$\frac{a}{x}$有如下性质：当a＞0时，函数在（0，$\sqrt{a}$]单调递减，在[$\sqrt{a}$，+∞）单调递增．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+$\frac{4}{x}$）-5|，其中t＞0．
（1）若函数f（x）分别在区间（0，2）和（2，+∞）上单调，求t的取值范围
（2）当t=1时，若方程f（x）-k=0有四个不相等的实数根x₁，x₂，x₃，x₄，求x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围
（3）当t=1时，是否存在实数a，b且0＜a＜b≤2，使得f（x）在区间[a，b]上的取值范围是[ma，mb]，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

分析（1）由题意得4t-5≥0，由此能求出t的取值范围．
（2）设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则x₁，x₄是方程（x-$\frac{4}{x}$）-5-k=0的两个根，x₂，x₃是方程-（x+$\frac{4}{x}$）+5-k=0的两根，由此能求出x₁+x₂+x₃+x₄的范围．
（3）令f（x）=0，得x=1或x=4，推导出0＜a＜b＜1或1＜a＜b≤2．由此利用分类讨论思想和构造法能求出存在满足条件的a，b，此时m的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{16}$）．

解答解：（1）由题意得y=t（x+$\frac{4}{x}$）-5在（0，2]递减，取值范围是[4t-5，+∞），
在[2，+∞）递增，取值范围是[4t-5，+∞），
∴4t-5≥0，解得t≥$\frac{5}{4}$，
∴t的取值范围是[$\frac{5}{4}$，+∞）．
（2）t=1时，方程有四个不等实数根x₁，x₂，x₃，x₄，设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
则x₁，x₄是方程（x-$\frac{4}{x}$）-5-k=0的两个根，
整理，得x²-（5+k）x+4=0，∴x₁+x₄=5+k，
同理，x₂，x₃是方程-（x+$\frac{4}{x}$）+5-k=0的两根，
整理，得x²-（5-k）x+4=0，∴x₃+x₄=5-k，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=10．
（3）令f（x）=0，得x=1或x=4，
由a＜b，ma＜mb，得m＞0，
若1∈[a，b]，则ma=0，矛盾．
故0＜a＜b＜1或1＜a＜b≤2．
当0＜a＜b＜1时，f（a）=mb，f（b）=ma，
$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{4}{a}-5=mb}\\{b+\frac{4}{b}-5=ma}\end{array}\right.$，消m，得a+b=5，矛盾．
当1＜a＜b≤2时，f（a）=ma，f（b）=mb，
$\left\{\begin{array}{l}{-a-\frac{4}{a}+5=ma}\\{-b-\frac{4}{b}+5=mb}\end{array}\right.$，即a，b是方程（m+1）x²-5x+4=0在（1，2]上两个不等根，
记g（x）=（m+1）x²-5x+4，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（2）＞0}\\{25-16（m+1）＞0}\\{1＜\frac{5}{2（m+1）}＜2}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤m＜\frac{9}{16}$，
综上所述，存在满足条件的a，b，此时m的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{16}$）．