Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，

（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：作AC的中点O，
∵A1A=A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，
又侧面AA1C1C⊥底面ABC，其交线为AC，且A1O平面AA1C1C，
∴A1O⊥底面ABC，
以O为坐标原点，OB、OC、OA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由已知得：O（0，0，0），A（0，﹣1，0），A1（0，0， ），C（0，1，0），C1（0，2， ），B（1，0，0）．
则有： ， ，
∵ =0，∴AC⊥A1B；
（Ⅱ）解：平面AA1C的一个法向量为 ．
设平面A1CB的一个法向量 ，
由 ，取z=1，得 ．
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为 ．
【解析】（Ⅰ）作AC的中点O，由A1A=A1C，且O为AC的中点，得A1O⊥AC，再由面面垂直的性质可得A1O⊥底面ABC，以O为坐标原点，OB、OC、OA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，由 =0，可得AC⊥A1B；（Ⅱ）平面AA1C的一个法向量为 ，设平面A1CB的一个法向量 ，求出 ，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．