Question

【题目】设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f[g（t）]的值域仍是A，那么称x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换．
（1）判断下列函数x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换？说明你的理由； ① ；
②f（x）=x2﹣x+1，x∈R，x=g（t）=2t ， t∈R．
（2）设f（x）=log2x的定义域为x∈[2，8]，已知 是y=f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m、n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在①中，∵ ，

∴函数y=f（x）的值域为R，函数y=f[g（t）]的值域是（0，+∞），

故①不是等值域变换，

在②中， ，即f（x）的值域为 ，

当t∈R时， ，即y=f[g（t）]的值域仍为 ，

∴x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，故②是等值域变换．

（2）解：f（x）=log2x定义域为[2，8]，因为x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，

且函数y=f[g（t）]的定义域为R，

∴ 的值域为[2，8]，

，

∴恒有 ，

解得 ．

【解析】（1）在①中，函数y=f（x）的值域为R，函数y=f[g（t）]的值域是（0，+∞）；在②中，f（x）的值域为 ，y=f[g（t）]的值域仍为 ．（2）由已知得 的值域为[2，8]， ，由此能求出实数m、n的值．