Question

（2012•黄浦区一模）要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素¹⁴C的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的¹⁴C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，¹⁴C不再产生，且原有的¹⁴C含量的衰变经过5570年（¹⁴C的半衰期），它的残余量只有原始量的一半．若¹⁴C的原始含量为a，则经过x年后的残余量a′与a之间满足a′=a•e^-kx．
（1）求实数k的值；
（2）测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中¹⁴C的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）．

Answer 1

分析：（1）根据a′=a•e^-kx，原有的¹⁴C含量的衰变经过5570年（¹⁴C的半衰期），它的残余量只有原始量的一半，建立等式，可求实数k的值；
（2）古墓中女尸¹⁴C的残余量约占原始含量的76.7%，建立方程，可推算马王堆古墓的年代．

解答：解：（1）由题意可知，当x=5570时，

a′

a

=

1

2

，
∵a′=a•e^-kx，∴

1

2

=e^-5570k，
∴k=

ln2

5570

．
（2）∵古墓中女尸¹⁴C的残余量约占原始含量的76.7%，
∴

a′

a

=0.767，即0.767=e-

ln2

5570

x，
解得x≈2132．
∴由此可推测古墓约是2100多年前的遗址．

点评：本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．