Question

已知函数f(x)=

ax2+2ax

ex

(a≠0)．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）a＞0，h（x）=ax²+2ax，g（x）=e^x，若在（0，+∞）上至少存在一点x₀，使h（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求得的区间就是单调区间；
（2）欲在（0，+∞）上至少存在一点x₀，使h（x₀）＞g（x₀）成立，只需f（x）=

h(x)

g(x)

的最大值大于1，建立不等关系，解之即可．

解答：（1）f′(x)=

-ex(x2-2)a

e2x

（2分）
若a＜0，f（x）在(

2

，+∞)，(-∞，-

2

)单调增，在[-

2

，

2

]单调减
若a＞0，f（x）在[-

2

，

2

]单调增，在(

2

，+∞)，(-∞，-

2

)单调减（5分）
（2）由（1）a＞0时，f（x）在(0，

2

]增，(

2

，+∞)减f(x)max=f(

2

)=

2a+2 2 a

e 2

要在（0，+∞）上存在一点x₀使h（x₀）＞g（x₀）即f（x₀）＞1
只须f(

2

)＞1，即

2a+2 2 a

e 2

＞1，a＞

2 -1

2

e

2

（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的最值及其几何意义，属于基础题．