Question

【题目】已知圆M: ，直线l：，下面五个命题，其中正确的是（ ）

A.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；

B.对任意实数k与θ，直线l与圆M都相离；

C.存在实数k与θ，直线l和圆M相离；

D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切：

E.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切；

Answer 1

【答案】AD

【解析】

圆M的圆心为点，半径为r=1，直线过定点，由点A在圆上，数形结合可判断直线与圆的位置关系；由题意知直线AM与直线l垂直，分与两种情况讨论对任意实数k，是否存在实数θ，使得直线l与圆M相切；令，分类讨论可得圆心到直线l的距离恒成立，推出直线l与圆M必相交，此时不存在实数k，使得直线l与圆M相切.

AB选项，由题意知圆M的圆心为点，半径为r=1，

直线l的方程可写作，过定点，因为点A在圆上，

所以直线l与圆M相切或相交，任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，A正确B错误；

C选项，由以上分析知不存在实数k与θ，直线l和圆M相离，C错误；

D选项，当直线l与圆M相切时，点A恰好为直线l与圆M的切点，故直线AM与直线l垂直，

①当时，直线AM与x轴垂直，则，

即，解得，存在，使得直线l与圆M相切；

②当时，若直线AM与直线l垂直，则，

直线AM的斜率为，

所以，即，

此时对任意的，均存在实数θ，使得，则直线AM与直线l垂直.

综上所述，对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切.D正确.

E选项，点到直线l的距离为，

令，当时，d=0，；当时，，

即此时恒成立，直线l与圆M必相交，

故此时不存在实数k，使得直线l与圆M相切.E错误.

故选：AD