Question

已知函数f（x）=x²-alnx和g(x)=

1

a

x-

x

，且f′（1）=g′（1）．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；
（2）当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f′（1）=g′（1），列出关于a的方程，求出a的值，即可求得函数f（x），g（x）的表达式；
（2）根据a＜1，确定a=

1

2

，得到f（x），g（x）的表达式，先研究g（x）=0的情况进行求解，再研究当g（x）≠0时，将不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，利用参变量分离转化为m≤

f(x)

g(x)

，进而求出[

f(x)

g(x)

]_min，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-aln x，
∴f′（x）=

2x2-a

x

，
∵g（x）=

1

a

x-

x

，
∴g′（x）=

1

a

-

1

2 x

，
由题意可得f′（1）=g′（1），即2-a=

2-a

2a

，
∴a=2或a=

1

2

，
∴当a=2时，f（x）=x²-2ln x，g（x）=

1

2

x-

x

，
当a=

1

2

时，f（x）=x²-

1

2

ln x，g（x）=2x-

x

；
（2）a=

1

2

，f（x）=x²-

1

2

ln x，g（x）=2x-

x

，
当x∈[

1

4

，

1

2

）时，f′（x）=2x-

1

2x

=

4x2-1

2x

＜0，
∴f（x）在[

1

4

，

1

2

]上为减函数，则f（x）≥f（

1

2

）=

1

4

+

1

2

ln 2＞0，
当x∈[

1

4

，

1

2

）时，g′（x）=2-

1

2 x

=

4 x -1

2 x

＞0，
∴g（x）在[

1

4

，

1

2

]上为增函数，则g（x）≤g（

1

2

）=1-

2

2

，且g（x）≥g（

1

4

）=0，
要使不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
即当x=

1

4

时，m为任意实数，
当x∈（

1

4

，

1

2

]时，m≤

f(x)

g(x)

，
而[

f(x)

g(x)

]_min=

f( 1 2 )

g( 1 2 )

=

(2+ 2 )

4

ln（4e），
∴m≤

(2+ 2 )

4

ln（4e）．

点评：本题考查了利用求导公式求函数的导数，以及利用导数研究函数的最值和单调性问题．导数的正负对应着函数的增减性．对于恒成立问题一般选用参变量分离法转化成求函数的最值问题，在参变量分离时要注意是否进行分类讨论．属于中档题．