Question

（2011•浙江模拟）已知函数f(x)=

9x+k•3x+1

9x+3x+1

，当k=1时，对任意的实数x₁，x₂，x₃，均有f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，这样就存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形．当k＞1时，若对任意的实数x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，则实数k的最大值为

4

．

Answer 1

分析：对任意的实数x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，说明|f（x₁）-f（x₂）|＜f（x₃）恒成立，从而转化为|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于f（x₃）的最小值．根据函数f（x）的结构特点可求出其值域，进而求得要求最值．

解答：解：当k＞1时，f（x）=

9x+k•3x+1

9x+3x+1

=1+

k-1

3x+3-x+1

，
所以f（x）的值域为（1，1+

k-1

3

]．
若对任意的实数x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，
即|f（x₁）-f（x₂）|＜f（x₃）恒成立，
又|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于

k-1

3

，
所以

k-1

3

≤1，解得k≤4，又k＞1，所以1＜k≤4．
故答案为：4．

点评：本题考查三角形中的几何计算，解决本题的关键是把三角形的存在转化为不等式恒成立处理．