Question

14．若sinx+cosx≤ke^x在$[0，\frac{π}{2}]$上恒成立，则实数k的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{1}{{e}^{\frac{π}{2}}}$

Answer 1

分析 由题意可得k≥$\frac{\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）}{{e}^{x}}$在$[0，\frac{π}{2}]$上恒成立．令g（x）=$\frac{\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）}{{e}^{x}}$，再利用导数求得g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上为减函数，故函数g（x）的最大值为g（0）=1，可得k≥1，由此求得k的最小值．

解答 解：∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），∴由题意可得函数y=f（x）=ke^x -$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≥0 在$[0，\frac{π}{2}]$上恒成立，
即 k≥$\frac{\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）}{{e}^{x}}$在$[0，\frac{π}{2}]$上恒成立．
令g（x）=$\frac{\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）}{{e}^{x}}$，可得g′（x）=$\frac{\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）{•e}^{x}-\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）•{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{\sqrt{2}[cos（x+\frac{π}{4}）-sin（x+\frac{π}{4}）]}{{e}^{x}}$=$\frac{2cos（x+\frac{π}{4}+\frac{π}{4}）}{{e}^{x}}$=$\frac{-2sinx}{{e}^{x}}$ 在$[0，\frac{π}{2}]$上小于零，
故函数g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上为减函数，
故函数g（x）的最大值为g（0）=1，∴k≥1，故实数k的最小值为1，
故选：C．

点评 本题主要考查三角恒等变换，利用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．