Question

已知tan(α+β)=

9

13

，tan(β-

π

4

)=-

1

3

，cosγ=

3 10

10

，其中α，γ为锐角．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求α+2γ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）tan（α+

π

4

）=tan[（α+β）-（β-

π

4

）]，右边利用两角和与差的正切函数公式化简后，把各自的值代入求出tan（α+

π

4

）的值，再由tanα=tan[（α+

π

4

）-

π

4

]，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入即可求出tanα的值；
（Ⅱ）由cosγ的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos2γ的值，再由γ为锐角，得到2γ的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin2γ的值，进而确定出tan2γ的值，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（α+2γ），将各自的值代入求出其值，再由α+2γ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+2γ的值．

解答：解：（Ⅰ）∵tan（α+β）=

9

13

，tan（β-

π

4

）=-

1

3

，
∴tan（α+

π

4

）=tan[（α+β）-（β-

π

4

）]
=

tan(α+β)-tan(β- π 4 )

1+tan(α+β)•tan(β- π 4 )

=

9 13 + 1 3

1- 9 13 × 1 3

=

4

3

，
则tanα=tan[（α+

π

4

）-

π

4

]=

tan(α+ π 4 )-tan π 4

1+tan(α+ π 4 )•tan π 4

=

4 3 -1

1+ 4 3 ×1

=

1

7

；
（Ⅱ）∵cosγ=

3 10

10

，∴cos2γ=2cos²γ-1=2×（

3 10

10

）²-1=

4

5

，
又∵γ为锐角，∴0＜2γ＜π，
则sin2γ=

1-cos22γ

=

3

5

，tan2γ=

sin2γ

cos2γ

=

3

4

，
∴tan（α+2γ）=

tanα+tan2γ

1-tanα•tan2γ

=

1 7 + 3 4

1- 1 7 × 3 4

=1，
又∵α也为锐角，∴0＜α+2γ＜π，
则α+2γ=

π

4

．

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．