Question

【题目】如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，且 ，点 在线段 上，且 .

（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求四棱锥 的体积.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ .
又∵底面 为正方形，
∴ .
∵ ，
∴ 平面 .
∴ .
设 交 于点 ，如图，在 中，

∵ ， ， ，
∴由余弦定理可得 .
∴ .
∴ .
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
又∵ 在平面 内，
∴平面 平面 ；
（Ⅱ）由题意可得 ，
而 ， 为三棱锥 的高，
则
【解析】（Ⅰ）先由线面垂直的性质证出P A ⊥ B D与B D ⊥ A C，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可得到平面 B D E ⊥ 平面 P C D ；
（Ⅱ）设AC与BD的交点为O，连结OE，利用VE-ABCD=SP-ABCD ， 可求四棱锥的体积．