题目内容

椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录于下表中：
x 3 
3
 4
6
y -
3
3
 -2
2
（1）求C1，C2的标准方程．
（2）如图，过点M（2，0）的直线l与C2相交于A，B两点，A在x轴下方，B在x轴上方，且
AM
=
1
2
MB
，求直线l的方程；
（3）与（2）中直线l平行的直线l1与椭圆交于C，D两点，以CD为底边作等腰△PCD，已知P点坐标为（-3，2），求△PCD的面积．
分析：（1）设抛物线方程为y2=mx，分别将四个点代入得到相同的m值两个点即可，进而将另外两个点的坐标代入椭圆方程即可得出；
（2）设直线l的方程为：x=my+2，与抛物线方程联立消去x得：y2-my-2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系及向量相等
AM
=
1
2
MB
，即可得到m的值．．
（3）设直线l1的方程为：y=x+t，与椭圆交于C（x3，y3）、D（x4，y4）两点，中点为Q（x0，y0），则PQ为l1的垂直平分线，利用“点差法”即可得：x0=-3y0，又y0=-x0-1，联立解得：x0，y0，代入l1的方程可得t．可得l1的方程，利用点斜式即可得出PQ的方程与椭圆方程联立即可得到C、D坐标，利用两点间的距离公式即可|CD|=3
2
，利用点到直线的距离公式可得：点P到直线CD（l1）的距离h，利用S△PCD=
1
2
|CD| ×h即可．
解答：解：（1）设抛物线方程为y2=mx，分别将四个点代入解得m=1，m=-
3
，m=1，m=
6
3
，
故抛物线方程为y2=x；
因此(
3
，
3
)(
6
，-
2
)两个点为椭圆C1上两点，
设椭圆方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1，将上述两个点坐标代入解得：a2=12，b2=4，
故椭圆方程为
x2
12
+
y2
4
=1．
（2）设直线l的方程为：x=my+2，与抛物线方程联立：
x=my+2
y2=x

消去x得：y2-my-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
y1+y2=m
y1y2=-2
，
又
AM
=
1
2
MB
，
∴-y1=
1
2
y2，消去y1，y2，
解得：m=1，
所以直线l的方程为：x=y+2，即x-y-2=0．
（3）设直线l1的方程为：y=x+t，与椭圆交于C（x3，y3）、D（x4，y4）两点，中点为Q（x0，y0），
则PQ为l1的垂直平分线，
C、D在椭圆上可得：
x
2
3
+3
y
2
3
=12
x
2
4
+3
y
2
4
=12
化为（x3+x4）（x3-x4）+3（y3+y4）（y3-y4）=0，
把x0=
x3+x4
2
，y0=
y3+y4
2
，1=
y3-y4
x3-x4
．代入可得：x0=-3y0，又y0=-x0-1，
联立解得：x0=-
3
2
，y0=
1
2
，代入l1的方程，t=2．
∴l1的方程为：y=x+2，
∴PQ的方程为y-
1
2
=-(x+
3
2
)，化为y=-x-1．
联立
y=x+2
x2+3y2=12
，解得
x=0
y=2
，
x=-3
y=-1
，C、D坐标，
∴|CD|=
(-3-0)2+(-1-2)2
=3
2
，点P到直线CD（l1）的距离h=
3
2
．
∴S△PCD=
1
2
|CD| ×h=
1
2
×3
2
×
3
2
=
9
2
．
点评：熟练掌握椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线的相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线C2：y2=4x的焦点重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF2|=
5
3
．圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点，圆C3与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）证明：无论点T运动到何处，圆C3恒经过椭圆C1上一定点．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为
2
2
；抛物线C2：y2=2px（p＞0）上一点（1，m ）到其焦点的距离为2．
（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2相切，求直线l的方程．
（2013•河西区一模）已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2=4y有一个相同的焦点F1，直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点．
（1）求直线l的方程；
（2）若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．
已知离心率为
1
2
的椭圆C1的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2=4mx（m＞0）的焦点为F2，设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P（x'，y'），|PF1|=
7
3
，则椭圆C1的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1
x2
4
+
y2
3
=1
；抛物线C2的标准方程为
y2=4x
y2=4x
．
已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在y轴上，C1的中心和C2 的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 0 -1
2
 4
y -2
2
1
16
 -2 1
（Ⅰ）求分别适合C1，C2的方程的点的坐标；
（Ⅱ）求C1，C2的标准方程．

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