Question

若数列{b_n}满足：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若cn=

4n-1，当n为奇数时 4n+9，当n为偶数时.

则{c_n}是公差为8的准等差数列．
（1）求上述准等差数列{c_n}的前9项的和T₉；
（2）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，试研究：是否存在实数a，使得数列{S_n}有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知把n=9分别代入数列的通项可求c₉，然后结合等差数列的求和公式可求准等差数列{c_n}的前9项的和T₉；
（2）由a_n+a_n+1=2n可得a_n+1+a_n+2=2（n+1），两式相减可知a_n+2-a_n=2，即可证明{a_n}为准等差数列．分n为奇偶数即可得出其通项公式；                   
（3）分当n为偶数时，当n为奇数时，求出S_n，当k为偶数时，令S_k=50，得k=10．再分别令S₉=50，S₁₁=50得出a即可．

解答：解：（1）T9=

(3+35)×5

2

+

(17+41)×4

2

=211．
（2）∵a_n+a_n+1=2n（n∈N^*）①，
a_n+1+a_n+2=2（n+1）②，
②-①得a_n+2-a_n=2（n∈N^*），
∴{a_n}为公差为2的准等差数列．
当n为偶数时，an=2-a+(

n

2

-1)×2=n-a，
当n为奇数时，an=a+(

n+1

2

-1)×2=n+a-1；
∴an=

n+a-1，(n为奇数) n-a，(n为偶数)

（3）当n为偶数时，Sn=a•

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2+(2-a)•

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2=

1

2

n2；
当n为奇数时，Sn=a•

n+1

2

+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×2+(2-a)•

n-1

2

+

n-1 2 ( n-1 2 -1)

2

×2=

1

2

n2+a-

1

2

．
当k为偶数时，Sk=

1

2

k2=50，得k=10．
由题意，有S9=

1

2

×92+a-

1

2

=50⇒a=10；
或S11=

1

2

×112+a-

1

2

=50⇒a=-10．
∴a=±10．

点评：本题主要考查了等差 数列的通项公式的应用，以新定义为载体考查了数列的递推公式的应用，及等差数列的求和公式的综合应用．属于中档题．