Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA和PD与底面ABCD所成角都是60°，E为侧棱PD的中点．

(Ⅰ)求证：AE⊥平面PCD；

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

解法1  (Ⅰ)过P作PO⊥AD，垂足为O．

∵平面PAD⊥平面ABCD  ∴PO⊥平面ABCD．

故∠PAO、∠PDO分别是PA、PD与底面ABCD所成的角，

即∠PAO=∠PDO=60°．    ∴PA=PD=AD．

∵PE=ED  ∴AE⊥PD

又∵平面PAD⊥平面ABCD且CD⊥AD

∴CD⊥平面PAD．∴CD⊥AE，

∵PD∩CD=D    ∴AE⊥平面PCD．

(Ⅱ)过E作EH⊥PC，垂足为H，连结HA．

∵AE⊥平面PCD  ∴EH是AH在平面PCD内的射影

∴∠EHA为二面角A-PC-D的平面角，

令AD=1，则AE= ，EH=，

∴tan∠AHE=   则∠AHE=arctan

即二面角A-PC-D的大小为arctan

解法2  (Ⅰ)以AD的中点O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1，

则A（，0，0），P(0，0，)，D(，0，0)，C(，0，0)，E(，0，)

∴=()，=()，=(0，1，0)，

∵==0，

∴ =0，∴

又PD平面PDC、DC平面PDC，

又PD∩DC=D，    ∴AE⊥平面PCD.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知=()是平面PDC的法向量．

设平面PAC的法向量为n₁=(x，y，z)，

则n₁⊥，n₁⊥，即

,取x=1，可得y=1，z=．

所以，n₁=(1，1，)．

故向量与n_l所成角θ的余弦值

cosθ=.

又由图可知，二面角A-PC-D的平面角为锐角，所以二面角A-PC-D的平面角就是向量与n₁所成角θ的补角．

即二面角A-PC-D的大小为arcos．